გადაწყვიტეთ {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=10$$

$$y=7$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3y+x=31$$

გამოაკელით x განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=-x+31$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -x+31.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-x+31}{3}-ით y მეორე განტოლებაში, 2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-x+31}{3}.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

მიუმატეთ -\frac{2x}{3} 3x-ს.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

გამოაკელით \frac{62}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{7}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=10$$

ჩაანაცვლეთ 10-ით x აქ: y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე 10.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

მიუმატეთ \frac{31}{3} -\frac{10}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=7,x=10$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=7,x=10$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

იმისათვის, რომ 3y და 2y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

გაამარტივეთ.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

გამოაკელით 6y+9x=132 6y+2x=62-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

მიუმატეთ 6y -6y-ს. პირობები 6y და -6y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2x-9x=62-132$$

მიუმატეთ 2x -9x-ს.

$$-7x=62-132$$

მიუმატეთ 62 -132-ს.

$$-7x=-70$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$x=10$$

ჩაანაცვლეთ 10-ით x აქ: 2y+3x=44. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$2y+3\times 10=44$$

გაამრავლეთ 3-ზე 10.

$$2y+30=44$$

გამოაკელით 30 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=14$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=7,x=10$$