გადაწყვიტეთ {l}{3y+5x=4}{6y-10x=-32}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 5 x = 4 } \\ { 6 y - 10 x = - 32 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=2$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3y+5x=4,6y-10x=-32$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3y+5x=4$$

გამოაკელით 5x განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=-5x+4$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=\frac{1}{3}\left(-5x+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -5x+4.

$$y=-\frac{5}{3}x+\frac{4}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5x+4}{3}-ით y მეორე განტოლებაში, 6y-10x=-32.

$$6\left(-\frac{5}{3}x+\frac{4}{3}\right)-10x=-32$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{-5x+4}{3}.

$$-10x+8-10x=-32$$

მიუმატეთ -10x -10x-ს.

$$-20x+8=-32$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-20x=-40$$

ორივე მხარე გაყავით -20-ზე.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: y=-\frac{5}{3}x+\frac{4}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\frac{5}{3}\times 2+\frac{4}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{3}-ზე 2.

$$y=\frac{-10+4}{3}$$

მიუმატეთ \frac{4}{3} -\frac{10}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-2,x=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3y+5x=4,6y-10x=-32$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-32\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-32\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-32\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-5\times 6}&-\frac{5}{3\left(-10\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-10\right)-5\times 6}&\frac{3}{3\left(-10\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-32\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-32\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{12}\left(-32\right)\\\frac{1}{10}\times 4-\frac{1}{20}\left(-32\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-2,x=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3y+5x=4,6y-10x=-32$$

იმისათვის, რომ 3y და 6y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$6\times 3y+6\times 5x=6\times 4,3\times 6y+3\left(-10\right)x=3\left(-32\right)$$

გაამარტივეთ.

$$18y+30x=24,18y-30x=-96$$

გამოაკელით 18y-30x=-96 18y+30x=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$18y-18y+30x+30x=24+96$$

მიუმატეთ 18y -18y-ს. პირობები 18y და -18y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$30x+30x=24+96$$

მიუმატეთ 30x 30x-ს.

$$60x=24+96$$

მიუმატეთ 24 96-ს.

$$60x=120$$

ორივე მხარე გაყავით 60-ზე.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: 6y-10x=-32. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$6y-10\times 2=-32$$

გაამრავლეთ -10-ზე 2.

$$6y-20=-32$$

მიუმატეთ 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-2,x=2$$