გადაწყვიტეთ {l}{3x-4y=16}{2x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 16 } \\ { 2 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=8$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-4y=16$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=4y+16$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+16\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 16+4y.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{16+4y}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-3y=10.

$$2\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-3y=10$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{16+4y}{3}.

$$\frac{8}{3}y+\frac{32}{3}-3y=10$$

მიუმატეთ \frac{8y}{3} -3y-ს.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{32}{3}=10$$

გამოაკელით \frac{32}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -3-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{4}{3}\times 2+\frac{16}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{4}{3}-ზე 2.

$$x=\frac{8+16}{3}$$

მიუმატეთ \frac{16}{3} \frac{8}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=8,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16-4\times 10\\2\times 16-3\times 10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=8,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 16,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10$$

გაამარტივეთ.

$$6x-8y=32,6x-9y=30$$

გამოაკელით 6x-9y=30 6x-8y=32-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x-8y+9y=32-30$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-8y+9y=32-30$$

მიუმატეთ -8y 9y-ს.

$$y=32-30$$

მიუმატეთ 32 -30-ს.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 2x-3y=10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-3\times 2=10$$

გაამრავლეთ -3-ზე 2.

$$2x-6=10$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=16$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=8,y=2$$