გადაწყვიტეთ {l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-2y=5$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=2y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2y+5}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -x+2y-5=9.

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

გაამრავლეთ -1-ზე \frac{2y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{3} 2y-ს.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

მიუმატეთ -\frac{5}{3} -5-ს.

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

მიუმატეთ \frac{20}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{4}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{47}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{47}{4}-ით y აქ: x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე \frac{47}{4} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} \frac{47}{6}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{19}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

იმისათვის, რომ 3x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

გაამარტივეთ.

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

გამოაკელით -3x+6y-15=27 -3x+2y=-5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

მიუმატეთ -3x 3x-ს. პირობები -3x და 3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y-6y+15=-5-27$$

მიუმატეთ 2y -6y-ს.

$$-4y+15=-5-27$$

მიუმატეთ -5 -27-ს.

$$-4y+15=-32$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4y=-47$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$y=\frac{47}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{47}{4}-ით y აქ: -x+2y-5=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{47}{4}.

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

მიუმატეთ \frac{47}{2} -5-ს.

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

გამოაკელით \frac{37}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-\frac{19}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=\frac{19}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$