გადაწყვიტეთ {l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=5$$

$$y=9$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-2y+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x-2y=-3$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=2y-3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2y}{3}-1-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+3y-47=0.

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

მიუმატეთ \frac{8y}{3} 3y-ს.

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

მიუმატეთ -4 -47-ს.

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

მიუმატეთ 51 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{17}{3}y=51$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{17}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=9$$

ჩაანაცვლეთ 9-ით y აქ: x=\frac{2}{3}y-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე 9.

$$x=6-1$$

მიუმატეთ -1 6-ს.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=9$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=5,y=9$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

იმისათვის, რომ 3x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

გაამარტივეთ.

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

გამოაკელით 12x+9y-141=0 12x-8y+12=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-8y-9y+12+141=0$$

მიუმატეთ -8y -9y-ს.

$$-17y+12+141=0$$

მიუმატეთ 12 141-ს.

$$-17y+153=0$$

გამოაკელით 153 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-17y=-153$$

ორივე მხარე გაყავით -17-ზე.

$$y=9$$

ჩაანაცვლეთ 9-ით y აქ: 4x+3y-47=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+3\times 9-47=0$$

გაამრავლეთ 3-ზე 9.

$$4x+27-47=0$$

მიუმატეთ 27 -47-ს.

$$4x-20=0$$

მიუმატეთ 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=20$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=9$$