გადაწყვიტეთ {l}{3x+y=0}{2x-5y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 0 } \\ { 2 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{6}{17}\approx 0.352941176$$

$$y = -\frac{18}{17} = -1\frac{1}{17} \approx -1.058823529$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+y=0$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-y$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)y$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -y.

$$x=-\frac{1}{3}y$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-5y=6.

$$2\left(-\frac{1}{3}\right)y-5y=6$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-5y=6$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{3} -5y-ს.

$$-\frac{17}{3}y=6$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{17}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{18}{17}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{18}{17}-ით y აქ: x=-\frac{1}{3}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{18}{17}\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე -\frac{18}{17} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{6}{17}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 6\\-\frac{3}{17}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{17}\\-\frac{18}{17}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2y=0,3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 6$$

გაამარტივეთ.

$$6x+2y=0,6x-15y=18$$

გამოაკელით 6x-15y=18 6x+2y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+2y+15y=-18$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y+15y=-18$$

მიუმატეთ 2y 15y-ს.

$$17y=-18$$

ორივე მხარე გაყავით 17-ზე.

$$y=-\frac{18}{17}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{18}{17}-ით y აქ: 2x-5y=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-5\left(-\frac{18}{17}\right)=6$$

გაამრავლეთ -5-ზე -\frac{18}{17}.

$$2x+\frac{90}{17}=6$$

გამოაკელით \frac{90}{17} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{12}{17}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{6}{17}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$