გადაწყვიტეთ {l}{3x+7y=63}{2x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 63 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=7$$

$$y=6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+7y=63$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-7y+63$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+63\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -7y+63.

$$x=-\frac{7}{3}y+21$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7y}{3}+21-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+4y=38.

$$2\left(-\frac{7}{3}y+21\right)+4y=38$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{7y}{3}+21.

$$-\frac{14}{3}y+42+4y=38$$

მიუმატეთ -\frac{14y}{3} 4y-ს.

$$-\frac{2}{3}y+42=38$$

გამოაკელით 42 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{2}{3}y=-4$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{2}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით y აქ: x=-\frac{7}{3}y+21. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 6+21$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{3}-ზე 6.

$$x=-14+21$$

მიუმატეთ 21 -14-ს.

$$x=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=7,y=6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-7\times 2}&-\frac{7}{3\times 4-7\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-7\times 2}&\frac{3}{3\times 4-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{7}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 63+\frac{7}{2}\times 38\\63-\frac{3}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=7,y=6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2\times 7y=2\times 63,3\times 2x+3\times 4y=3\times 38$$

გაამარტივეთ.

$$6x+14y=126,6x+12y=114$$

გამოაკელით 6x+12y=114 6x+14y=126-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+14y-12y=126-114$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$14y-12y=126-114$$

მიუმატეთ 14y -12y-ს.

$$2y=126-114$$

მიუმატეთ 126 -114-ს.

$$2y=12$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით y აქ: 2x+4y=38. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+4\times 6=38$$

გაამრავლეთ 4-ზე 6.

$$2x+24=38$$

გამოაკელით 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=14$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=7,y=6$$