გადაწყვიტეთ {l}{3x+7y=6}{x+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 6 } \\ { x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-33$$

$$y=15$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+7y=6$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-7y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -7y+6.

$$x=-\frac{7}{3}y+2$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7y}{3}+2-ით x მეორე განტოლებაში, x+3y=12.

$$-\frac{7}{3}y+2+3y=12$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{3} 3y-ს.

$$\frac{2}{3}y+2=12$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{2}{3}y=10$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{2}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=15$$

ჩაანაცვლეთ 15-ით y აქ: x=-\frac{7}{3}y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 15+2$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{3}-ზე 15.

$$x=-35+2$$

მიუმატეთ 2 -35-ს.

$$x=-33$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-33,y=15$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-7}&-\frac{7}{3\times 3-7}\\-\frac{1}{3\times 3-7}&\frac{3}{3\times 3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 6-\frac{7}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\15\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-33,y=15$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

იმისათვის, რომ 3x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$3x+7y=6,3x+3\times 3y=3\times 12$$

გაამარტივეთ.

$$3x+7y=6,3x+9y=36$$

გამოაკელით 3x+9y=36 3x+7y=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x+7y-9y=6-36$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$7y-9y=6-36$$

მიუმატეთ 7y -9y-ს.

$$-2y=6-36$$

მიუმატეთ 6 -36-ს.

$$-2y=-30$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=15$$

ჩაანაცვლეთ 15-ით y აქ: x+3y=12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+3\times 15=12$$

გაამრავლეთ 3-ზე 15.

$$x+45=12$$

გამოაკელით 45 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-33$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-33,y=15$$