გადაწყვიტეთ {l}{3x+7y=13}{5x-4y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 13 } \\ { 5 x - 4 y = 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+7y=13$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-7y+13$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+13\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -7y+13.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-7y+13}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}\right)-4y=6$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{-7y+13}{3}.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{65}{3}-4y=6$$

მიუმატეთ -\frac{35y}{3} -4y-ს.

$$-\frac{47}{3}y+\frac{65}{3}=6$$

გამოაკელით \frac{65}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{47}{3}y=-\frac{47}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{47}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{-7+13}{3}$$

მიუმატეთ \frac{13}{3} -\frac{7}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-7\times 5}&-\frac{7}{3\left(-4\right)-7\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-7\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{47}&\frac{7}{47}\\\frac{5}{47}&-\frac{3}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{47}\times 13+\frac{7}{47}\times 6\\\frac{5}{47}\times 13-\frac{3}{47}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

იმისათვის, რომ 3x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$5\times 3x+5\times 7y=5\times 13,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

გაამარტივეთ.

$$15x+35y=65,15x-12y=18$$

გამოაკელით 15x-12y=18 15x+35y=65-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x+35y+12y=65-18$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$35y+12y=65-18$$

მიუმატეთ 35y 12y-ს.

$$47y=65-18$$

მიუმატეთ 65 -18-ს.

$$47y=47$$

ორივე მხარე გაყავით 47-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 5x-4y=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x-4=6$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=10$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=1$$