გადაწყვიტეთ {l}{3x+5y=55000}{x+y=300}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 55000 } \\ { x + y = 300 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-26750$$

$$y=27050$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+5y=55000,x+y=300$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+5y=55000$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-5y+55000$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+55000\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -5y+55000.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{55000}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5y+55000}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=300.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{55000}{3}+y=300$$

მიუმატეთ -\frac{5y}{3} y-ს.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{55000}{3}=300$$

გამოაკელით \frac{55000}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{2}{3}y=-\frac{54100}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{2}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=27050$$

ჩაანაცვლეთ 27050-ით y აქ: x=-\frac{5}{3}y+\frac{55000}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{3}\times 27050+\frac{55000}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{3}-ზე 27050.

$$x=\frac{-135250+55000}{3}$$

მიუმატეთ \frac{55000}{3} -\frac{135250}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-26750$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-26750,y=27050$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+5y=55000,x+y=300$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55000\\300\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55000\\300\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55000\\300\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55000\\300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5}&-\frac{5}{3-5}\\-\frac{1}{3-5}&\frac{3}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55000\\300\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55000\\300\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 55000+\frac{5}{2}\times 300\\\frac{1}{2}\times 55000-\frac{3}{2}\times 300\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26750\\27050\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-26750,y=27050$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+5y=55000,x+y=300$$

იმისათვის, რომ 3x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$3x+5y=55000,3x+3y=3\times 300$$

გაამარტივეთ.

$$3x+5y=55000,3x+3y=900$$

გამოაკელით 3x+3y=900 3x+5y=55000-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x+5y-3y=55000-900$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5y-3y=55000-900$$

მიუმატეთ 5y -3y-ს.

$$2y=55000-900$$

მიუმატეთ 55000 -900-ს.

$$2y=54100$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=27050$$

ჩაანაცვლეთ 27050-ით y აქ: x+y=300. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+27050=300$$

გამოაკელით 27050 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-26750$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-26750,y=27050$$