გადაწყვიტეთ {l}{3x+5y=-8}{4x+13y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 8 } \\ { 4 x + 13 y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-6$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+5y=-8$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-5y-8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -5y-8.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5y-8}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+13y=2.

$$4\left(-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}\right)+13y=2$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-5y-8}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{32}{3}+13y=2$$

მიუმატეთ -\frac{20y}{3} 13y-ს.

$$\frac{19}{3}y-\frac{32}{3}=2$$

მიუმატეთ \frac{32}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{19}{3}y=\frac{38}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{19}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{3}-ზე 2.

$$x=\frac{-10-8}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{8}{3} -\frac{10}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-6,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{3\times 13-5\times 4}&-\frac{5}{3\times 13-5\times 4}\\-\frac{4}{3\times 13-5\times 4}&\frac{3}{3\times 13-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&-\frac{5}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\left(-8\right)-\frac{5}{19}\times 2\\-\frac{4}{19}\left(-8\right)+\frac{3}{19}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-6,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

იმისათვის, რომ 3x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$4\times 3x+4\times 5y=4\left(-8\right),3\times 4x+3\times 13y=3\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$12x+20y=-32,12x+39y=6$$

გამოაკელით 12x+39y=6 12x+20y=-32-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x+20y-39y=-32-6$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$20y-39y=-32-6$$

მიუმატეთ 20y -39y-ს.

$$-19y=-32-6$$

მიუმატეთ -32 -6-ს.

$$-19y=-38$$

ორივე მხარე გაყავით -19-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 4x+13y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+13\times 2=2$$

გაამრავლეთ 13-ზე 2.

$$4x+26=2$$

გამოაკელით 26 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-24$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=-6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-6,y=2$$