გადაწყვიტეთ {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 22x ორივე მხარეს.

$$-5x+2y+22x=0$$

დააჯგუფეთ -5x და 22x, რათა მიიღოთ 17x.

$$17x+2y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+5y=-24$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-5y-24$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -5y-24.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{3}-8-ით x მეორე განტოლებაში, 17x+2y=0.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

გაამრავლეთ 17-ზე -\frac{5y}{3}-8.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

მიუმატეთ -\frac{85y}{3} 2y-ს.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

მიუმატეთ 136 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{79}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{408}{79}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{408}{79}-ით y აქ: x=-\frac{5}{3}y-8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{3}-ზე -\frac{408}{79} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

მიუმატეთ -8 \frac{680}{79}-ს.

$$x=\frac{48}{79}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 22x ორივე მხარეს.

$$-5x+2y+22x=0$$

დააჯგუფეთ -5x და 22x, რათა მიიღოთ 17x.

$$17x+2y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 22x ორივე მხარეს.

$$-5x+2y+22x=0$$

დააჯგუფეთ -5x და 22x, რათა მიიღოთ 17x.

$$17x+2y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

იმისათვის, რომ 3x და 17x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 17-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

გაამარტივეთ.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

გამოაკელით 51x+6y=0 51x+85y=-408-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

მიუმატეთ 51x -51x-ს. პირობები 51x და -51x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$85y-6y=-408$$

მიუმატეთ 85y -6y-ს.

$$79y=-408$$

ორივე მხარე გაყავით 79-ზე.

$$y=-\frac{408}{79}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{408}{79}-ით y აქ: 17x+2y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{408}{79}.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

მიუმატეთ \frac{816}{79} განტოლების ორივე მხარეს.

$$17x=\frac{816}{79}$$

ორივე მხარე გაყავით 17-ზე.

$$x=\frac{48}{79}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$