გადაწყვიტეთ {l}{3x+4y=5}{x=7quady=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { x = 7 \quad y = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7y ორივე მხარეს.

$$x-7y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+4y=5,x-7y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+4y=5$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-4y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -4y+5.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-4y+5}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, x-7y=0.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}-7y=0$$

მიუმატეთ -\frac{4y}{3} -7y-ს.

$$-\frac{25}{3}y+\frac{5}{3}=0$$

გამოაკელით \frac{5}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{25}{3}y=-\frac{5}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{25}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{5}-ით y აქ: x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}+\frac{5}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{3}-ზე \frac{1}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{4}{15}+\frac{5}{3}$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} -\frac{4}{15}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{7}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{1}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7y ორივე მხარეს.

$$x-7y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+4y=5,x-7y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&4\\1&-7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-7\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-7\right)-4}&\frac{3}{3\left(-7\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}\times 5\\\frac{1}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{1}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7y ორივე მხარეს.

$$x-7y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+4y=5,x-7y=0$$

იმისათვის, რომ 3x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$3x+4y=5,3x+3\left(-7\right)y=0$$

გაამარტივეთ.

$$3x+4y=5,3x-21y=0$$

გამოაკელით 3x-21y=0 3x+4y=5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x+4y+21y=5$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y+21y=5$$

მიუმატეთ 4y 21y-ს.

$$25y=5$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$y=\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{5}-ით y აქ: x-7y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-7\times \frac{1}{5}=0$$

გაამრავლეთ -7-ზე \frac{1}{5}.

$$x-\frac{7}{5}=0$$

მიუმატეთ \frac{7}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{7}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{1}{5}$$