გადაწყვიტეთ {l}{3x+4y=5}{4x+9y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { 4 x + 9 y = 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{21}{11} = 1\frac{10}{11} \approx 1.909090909$$

$$y=-\frac{2}{11}\approx -0.181818182$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+4y=5,4x+9y=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+4y=5$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-4y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -4y+5.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-4y+5}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+9y=6.

$$4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}\right)+9y=6$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-4y+5}{3}.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{20}{3}+9y=6$$

მიუმატეთ -\frac{16y}{3} 9y-ს.

$$\frac{11}{3}y+\frac{20}{3}=6$$

გამოაკელით \frac{20}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{3}y=-\frac{2}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{2}{11}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2}{11}-ით y აქ: x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{2}{11}\right)+\frac{5}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{3}-ზე -\frac{2}{11} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{8}{33}+\frac{5}{3}$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} \frac{8}{33}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{21}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{21}{11},y=-\frac{2}{11}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+4y=5,4x+9y=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 9-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 9-4\times 4}&\frac{3}{3\times 9-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{11}&-\frac{4}{11}\\-\frac{4}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{11}\times 5-\frac{4}{11}\times 6\\-\frac{4}{11}\times 5+\frac{3}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{11}\\-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{21}{11},y=-\frac{2}{11}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+4y=5,4x+9y=6$$

იმისათვის, რომ 3x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$4\times 3x+4\times 4y=4\times 5,3\times 4x+3\times 9y=3\times 6$$

გაამარტივეთ.

$$12x+16y=20,12x+27y=18$$

გამოაკელით 12x+27y=18 12x+16y=20-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x+16y-27y=20-18$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$16y-27y=20-18$$

მიუმატეთ 16y -27y-ს.

$$-11y=20-18$$

მიუმატეთ 20 -18-ს.

$$-11y=2$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=-\frac{2}{11}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2}{11}-ით y აქ: 4x+9y=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+9\left(-\frac{2}{11}\right)=6$$

გაამრავლეთ 9-ზე -\frac{2}{11}.

$$4x-\frac{18}{11}=6$$

მიუმატეთ \frac{18}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{84}{11}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{21}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{21}{11},y=-\frac{2}{11}$$