გადაწყვიტეთ {l}{3x+4y=3}{8x+7y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+4y=3$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-4y+3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -4y+3.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{4y}{3}+1-ით x მეორე განტოლებაში, 8x+7y=14.

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

გაამრავლეთ 8-ზე -\frac{4y}{3}+1.

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

მიუმატეთ -\frac{32y}{3} 7y-ს.

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{11}{3}y=6$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{11}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{18}{11}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{18}{11}-ით y აქ: x=-\frac{4}{3}y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{3}-ზე -\frac{18}{11} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{24}{11}+1$$

მიუმატეთ 1 \frac{24}{11}-ს.

$$x=\frac{35}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

იმისათვის, რომ 3x და 8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

გაამარტივეთ.

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

გამოაკელით 24x+21y=42 24x+32y=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

მიუმატეთ 24x -24x-ს. პირობები 24x და -24x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$32y-21y=24-42$$

მიუმატეთ 32y -21y-ს.

$$11y=24-42$$

მიუმატეთ 24 -42-ს.

$$11y=-18$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$y=-\frac{18}{11}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{18}{11}-ით y აქ: 8x+7y=14. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

გაამრავლეთ 7-ზე -\frac{18}{11}.

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

მიუმატეთ \frac{126}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=\frac{280}{11}$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=\frac{35}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$