გადაწყვიტეთ {l}{3x+4y=253}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=11$$

$$y=55$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+4y=253$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-4y+253$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -4y+253.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-4y+253}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -5x+y=0.

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{-4y+253}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

მიუმატეთ \frac{20y}{3} y-ს.

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

მიუმატეთ \frac{1265}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{23}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=55$$

ჩაანაცვლეთ 55-ით y აქ: x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{3}-ზე 55.

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

მიუმატეთ \frac{253}{3} -\frac{220}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=11$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=11,y=55$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=11,y=55$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

იმისათვის, რომ 3x და -5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

გაამარტივეთ.

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

გამოაკელით -15x+3y=0 -15x-20y=-1265-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

მიუმატეთ -15x 15x-ს. პირობები -15x და 15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-20y-3y=-1265$$

მიუმატეთ -20y -3y-ს.

$$-23y=-1265$$

ორივე მხარე გაყავით -23-ზე.

$$y=55$$

ჩაანაცვლეთ 55-ით y აქ: -5x+y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-5x+55=0$$

გამოაკელით 55 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=-55$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=11$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=11,y=55$$