გადაწყვიტეთ {l}{3x+2y=7}{5x-2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 5 x - 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8} = 3.125$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+2y=7$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-2y+7$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+7}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x-2y=-5.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-2y=-5$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{35}{3}-2y=-5$$

მიუმატეთ -\frac{10y}{3} -2y-ს.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{35}{3}=-5$$

გამოაკელით \frac{35}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{50}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{16}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{25}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{25}{8}-ით y აქ: x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{25}{8}+\frac{7}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე \frac{25}{8} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{25}{12}+\frac{7}{3}$$

მიუმატეთ \frac{7}{3} -\frac{25}{12}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{1}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{1}{8}\left(-5\right)\\\frac{5}{16}\times 7-\frac{3}{16}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{25}{8}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

იმისათვის, რომ 3x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 7,3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\left(-5\right)$$

გაამარტივეთ.

$$15x+10y=35,15x-6y=-15$$

გამოაკელით 15x-6y=-15 15x+10y=35-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x+10y+6y=35+15$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10y+6y=35+15$$

მიუმატეთ 10y 6y-ს.

$$16y=35+15$$

მიუმატეთ 35 15-ს.

$$16y=50$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$y=\frac{25}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{25}{8}-ით y აქ: 5x-2y=-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x-2\times \frac{25}{8}=-5$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{25}{8}.

$$5x-\frac{25}{4}=-5$$

მიუმატეთ \frac{25}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=\frac{5}{4}$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$