გადაწყვიტეთ {l}{3x+2y=5}{2x-3y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 5 } \\ { 2 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+2y=5,2x-3y=-1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+2y=5$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-2y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -2y+5.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+5}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-3y=-1.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-3y=-1$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-2y+5}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-3y=-1$$

მიუმატეთ -\frac{4y}{3} -3y-ს.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{10}{3}=-1$$

გამოაკელით \frac{10}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{13}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{13}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} -\frac{2}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+2y=5,2x-3y=-1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 5+\frac{2}{13}\left(-1\right)\\\frac{2}{13}\times 5-\frac{3}{13}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+2y=5,2x-3y=-1$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-1\right)$$

გაამარტივეთ.

$$6x+4y=10,6x-9y=-3$$

გამოაკელით 6x-9y=-3 6x+4y=10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+4y+9y=10+3$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y+9y=10+3$$

მიუმატეთ 4y 9y-ს.

$$13y=10+3$$

მიუმატეთ 10 3-ს.

$$13y=13$$

ორივე მხარე გაყავით 13-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 2x-3y=-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-3=-1$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$