გადაწყვიტეთ {l}{3x+2y=4}{3y+6x=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 3 y + 6 x = 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+2y=4$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-2y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -2y+4.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+4}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 6x+3y=10.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)+3y=10$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{-2y+4}{3}.

$$-4y+8+3y=10$$

მიუმატეთ -4y 3y-ს.

$$-y+8=10$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=2$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{4}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე -2.

$$x=\frac{4+4}{3}$$

მიუმატეთ \frac{4}{3} \frac{4}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{8}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 3-2\times 6}&\frac{3}{3\times 3-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{2}{3}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+\frac{2}{3}\times 10\\2\times 4-10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

იმისათვის, რომ 3x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 4,3\times 6x+3\times 3y=3\times 10$$

გაამარტივეთ.

$$18x+12y=24,18x+9y=30$$

გამოაკელით 18x+9y=30 18x+12y=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$18x-18x+12y-9y=24-30$$

მიუმატეთ 18x -18x-ს. პირობები 18x და -18x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y-9y=24-30$$

მიუმატეთ 12y -9y-ს.

$$3y=24-30$$

მიუმატეთ 24 -30-ს.

$$3y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: 6x+3y=10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x+3\left(-2\right)=10$$

გაამრავლეთ 3-ზე -2.

$$6x-6=10$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=16$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{8}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$