გადაწყვიტეთ {l}{3x+2y=12}{4x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 12 } \\ { 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{34}{11} = 3\frac{1}{11} \approx 3.090909091$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+2y=12$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-2y+12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2y}{3}+4-ით x მეორე განტოლებაში, 4x-y=11.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-y=11$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{2y}{3}+4.

$$-\frac{8}{3}y+16-y=11$$

მიუმატეთ -\frac{8y}{3} -y-ს.

$$-\frac{11}{3}y+16=11$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{11}{3}y=-5$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{11}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{15}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{15}{11}-ით y აქ: x=-\frac{2}{3}y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}+4$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე \frac{15}{11} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{10}{11}+4$$

მიუმატეთ 4 -\frac{10}{11}-ს.

$$x=\frac{34}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 12+\frac{2}{11}\times 11\\\frac{4}{11}\times 12-\frac{3}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

იმისათვის, რომ 3x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 12,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

გაამარტივეთ.

$$12x+8y=48,12x-3y=33$$

გამოაკელით 12x-3y=33 12x+8y=48-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x+8y+3y=48-33$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$8y+3y=48-33$$

მიუმატეთ 8y 3y-ს.

$$11y=48-33$$

მიუმატეთ 48 -33-ს.

$$11y=15$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$y=\frac{15}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{15}{11}-ით y აქ: 4x-y=11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x-\frac{15}{11}=11$$

მიუმატეთ \frac{15}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{136}{11}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{34}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$