გადაწყვიტეთ {l}{3x+2y=-8}{-x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { - x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=-7$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+2y=-8$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-2y-8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -2y-8.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y-8}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -x-2y=12.

$$-\left(-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)-2y=12$$

გაამრავლეთ -1-ზე \frac{-2y-8}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-2y=12$$

მიუმატეთ \frac{2y}{3} -2y-ს.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}=12$$

გამოაკელით \frac{8}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{4}{3}y=\frac{28}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{4}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-7$$

ჩაანაცვლეთ -7-ით y აქ: x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-7\right)-\frac{8}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე -7.

$$x=\frac{14-8}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{8}{3} \frac{14}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-7$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{4}\left(-8\right)-\frac{3}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=-7$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

იმისათვის, რომ 3x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-3x-2y=-\left(-8\right),3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

გაამარტივეთ.

$$-3x-2y=8,-3x-6y=36$$

გამოაკელით -3x-6y=36 -3x-2y=8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-3x+3x-2y+6y=8-36$$

მიუმატეთ -3x 3x-ს. პირობები -3x და 3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2y+6y=8-36$$

მიუმატეთ -2y 6y-ს.

$$4y=8-36$$

მიუმატეთ 8 -36-ს.

$$4y=-28$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=-7$$

ჩაანაცვლეთ -7-ით y აქ: -x-2y=12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x-2\left(-7\right)=12$$

გაამრავლეთ -2-ზე -7.

$$-x+14=12$$

გამოაკელით 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-2$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-7$$