გადაწყვიტეთ {l}{3x+10y=40}{y=3/10x-7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 40 } \\ { y = \frac { 3 } { 10 } x - 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{55}{3} = 18\frac{1}{3} \approx 18.333333333$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{3}{10}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+10y=40$$

გამოაკელით 10y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-10y+40$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+40\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -10y+40.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-10y+40}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -\frac{3}{10}x+y=-7.

$$-\frac{3}{10}\left(-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}\right)+y=-7$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{10}-ზე \frac{-10y+40}{3}.

$$y-4+y=-7$$

მიუმატეთ y y-ს.

$$2y-4=-7$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=-\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{2}-ით y აქ: x=-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{10}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{40}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{10}{3}-ზე -\frac{3}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=5+\frac{40}{3}$$

მიუმატეთ \frac{40}{3} 5-ს.

$$x=\frac{55}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{3}{10}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}&-\frac{10}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{10}}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}&\frac{3}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{3}\\\frac{1}{20}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 40-\frac{5}{3}\left(-7\right)\\\frac{1}{20}\times 40+\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{3}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{3}{10}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

იმისათვის, რომ 3x და -\frac{3x}{10} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -\frac{3}{10}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-\frac{3}{10}\times 3x-\frac{3}{10}\times 10y=-\frac{3}{10}\times 40,3\left(-\frac{3}{10}\right)x+3y=3\left(-7\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-\frac{9}{10}x-3y=-12,-\frac{9}{10}x+3y=-21$$

გამოაკელით -\frac{9}{10}x+3y=-21 -\frac{9}{10}x-3y=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}x-3y-3y=-12+21$$

მიუმატეთ -\frac{9x}{10} \frac{9x}{10}-ს. პირობები -\frac{9x}{10} და \frac{9x}{10} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-3y=-12+21$$

მიუმატეთ -3y -3y-ს.

$$-6y=-12+21$$

მიუმატეთ -12 21-ს.

$$-6y=9$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$y=-\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{2}-ით y აქ: -\frac{3}{10}x+y=-7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-\frac{3}{10}x-\frac{3}{2}=-7$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{3}{10}x=-\frac{11}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{3}{10}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{55}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$