გადაწყვიტეთ {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა w, z-ისთვის

$$z=5$$

$$w=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი w-ისთვის, w-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3w-2z=5$$

მიუმატეთ 2z განტოლების ორივე მხარეს.

$$3w=2z+5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 2z+5.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2z+5}{3}-ით w მეორე განტოლებაში, w+2z=15.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

მიუმატეთ \frac{2z}{3} 2z-ს.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

გამოაკელით \frac{5}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{8}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$z=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით z აქ: w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ w.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე 5.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} \frac{10}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$w=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$w=5,z=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - w და z.

$$w=5,z=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

იმისათვის, რომ 3w და w ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

გაამარტივეთ.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

გამოაკელით 3w+6z=45 3w-2z=5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

მიუმატეთ 3w -3w-ს. პირობები 3w და -3w გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2z-6z=5-45$$

მიუმატეთ -2z -6z-ს.

$$-8z=5-45$$

მიუმატეთ 5 -45-ს.

$$-8z=-40$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$z=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით z აქ: w+2z=15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ w.

$$w+2\times 5=15$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$w+10=15$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$w=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$w=5,z=5$$