გადაწყვიტეთ {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა c, z-ისთვის

$$z=-3$$

$$c=0$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი c-ისთვის, c-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3c+5z=-15$$

გამოაკელით 5z განტოლების ორივე მხარეს.

$$3c=-5z-15$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -5z-15.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5z}{3}-5-ით c მეორე განტოლებაში, 5c+3z=-9.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

გაამრავლეთ 5-ზე -\frac{5z}{3}-5.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

მიუმატეთ -\frac{25z}{3} 3z-ს.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

მიუმატეთ 25 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{16}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$z=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით z აქ: c=-\frac{5}{3}z-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ c.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{3}-ზე -3.

$$c=5-5$$

მიუმატეთ -5 5-ს.

$$c=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$c=0,z=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - c და z.

$$c=0,z=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

იმისათვის, რომ 3c და 5c ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

გაამარტივეთ.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

გამოაკელით 15c+9z=-27 15c+25z=-75-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

მიუმატეთ 15c -15c-ს. პირობები 15c და -15c გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$25z-9z=-75+27$$

მიუმატეთ 25z -9z-ს.

$$16z=-75+27$$

მიუმატეთ -75 27-ს.

$$16z=-48$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$z=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით z აქ: 5c+3z=-9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ c.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

გაამრავლეთ 3-ზე -3.

$$5c-9=-9$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5c=0$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$c=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$c=0,z=-3$$