გადაწყვიტეთ {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3a+b=-3$$

გამოაკელით b განტოლების ორივე მხარეს.

$$3a=-b-3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -b-3.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{b}{3}-1-ით a მეორე განტოლებაში, 2a-b=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{b}{3}-1.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

მიუმატეთ -\frac{2b}{3} -b-ს.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=-\frac{3}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{5}-ით b აქ: a=-\frac{1}{3}b-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე -\frac{3}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

მიუმატეთ -1 \frac{1}{5}-ს.

$$a=-\frac{4}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

იმისათვის, რომ 3a და 2a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

გაამარტივეთ.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

გამოაკელით 6a-3b=-3 6a+2b=-6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

მიუმატეთ 6a -6a-ს. პირობები 6a და -6a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2b+3b=-6+3$$

მიუმატეთ 2b 3b-ს.

$$5b=-6+3$$

მიუმატეთ -6 3-ს.

$$5b=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$b=-\frac{3}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{5}-ით b აქ: 2a-b=-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

გამოაკელით \frac{3}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$a=-\frac{4}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$