გადაწყვიტეთ {l}{3a+5u=17}{2a+u=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 5 u = 17 } \\ { 2 a + u = 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, u-ისთვის

$$a=4$$

$$u=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3a+5u=17$$

გამოაკელით 5u განტოლების ორივე მხარეს.

$$3a=-5u+17$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$a=\frac{1}{3}\left(-5u+17\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -5u+17.

$$a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5u+17}{3}-ით a მეორე განტოლებაში, 2a+u=9.

$$2\left(-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}\right)+u=9$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-5u+17}{3}.

$$-\frac{10}{3}u+\frac{34}{3}+u=9$$

მიუმატეთ -\frac{10u}{3} u-ს.

$$-\frac{7}{3}u+\frac{34}{3}=9$$

გამოაკელით \frac{34}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{7}{3}u=-\frac{7}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{7}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$u=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით u აქ: a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=\frac{-5+17}{3}$$

მიუმატეთ \frac{17}{3} -\frac{5}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=4,u=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 17+\frac{5}{7}\times 9\\\frac{2}{7}\times 17-\frac{3}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და u.

$$a=4,u=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

იმისათვის, რომ 3a და 2a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3a+2\times 5u=2\times 17,3\times 2a+3u=3\times 9$$

გაამარტივეთ.

$$6a+10u=34,6a+3u=27$$

გამოაკელით 6a+3u=27 6a+10u=34-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6a-6a+10u-3u=34-27$$

მიუმატეთ 6a -6a-ს. პირობები 6a და -6a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10u-3u=34-27$$

მიუმატეთ 10u -3u-ს.

$$7u=34-27$$

მიუმატეთ 34 -27-ს.

$$7u=7$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$u=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით u აქ: 2a+u=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$2a+1=9$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2a=8$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$a=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=4,u=1$$