გადაწყვიტეთ {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა A, c-ისთვის

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი A-ისთვის, A-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3A-13c=-255$$

მიუმატეთ 13c განტოლების ორივე მხარეს.

$$3A=13c-255$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 13c-255.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

ჩაანაცვლეთ \frac{13c}{3}-85-ით A მეორე განტოლებაში, 31A-6c=-180.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

გაამრავლეთ 31-ზე \frac{13c}{3}-85.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

მიუმატეთ \frac{403c}{3} -6c-ს.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

მიუმატეთ 2635 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{385}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$c=\frac{1473}{77}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1473}{77}-ით c აქ: A=\frac{13}{3}c-85. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ A.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

გაამრავლეთ \frac{13}{3}-ზე \frac{1473}{77} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

მიუმატეთ -85 \frac{6383}{77}-ს.

$$A=-\frac{162}{77}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - A და c.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

იმისათვის, რომ 3A და 31A ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 31-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

გაამარტივეთ.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

გამოაკელით 93A-18c=-540 93A-403c=-7905-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

მიუმატეთ 93A -93A-ს. პირობები 93A და -93A გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-403c+18c=-7905+540$$

მიუმატეთ -403c 18c-ს.

$$-385c=-7905+540$$

მიუმატეთ -7905 540-ს.

$$-385c=-7365$$

ორივე მხარე გაყავით -385-ზე.

$$c=\frac{1473}{77}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1473}{77}-ით c აქ: 31A-6c=-180. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ A.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

გაამრავლეთ -6-ზე \frac{1473}{77}.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

მიუმატეთ \frac{8838}{77} განტოლების ორივე მხარეს.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

ორივე მხარე გაყავით 31-ზე.

$$A=-\frac{162}{77}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$