გადაწყვიტეთ {l}{3(2x-5)+2y=-41}{x-3y/9-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - 5 ) + 2 y = - 41 } \\ { \frac { x - 3 y } { 9 } - y = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-3$$

$$y=-4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 2x-5-ზე.

$$6x-15+2y=-41$$

დაამატეთ 15 ორივე მხარეს.

$$6x+2y=-41+15$$

შეკრიბეთ -41 და 15, რათა მიიღოთ -26.

$$6x+2y=-26$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 9-ზე.

$$x-3y-9y=45$$

დააჯგუფეთ -3y და -9y, რათა მიიღოთ -12y.

$$x-12y=45$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x+2y=-26$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-2y-26$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-26\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -2y-26.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y-13}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, x-12y=45.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}-12y=45$$

მიუმატეთ -\frac{y}{3} -12y-ს.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{13}{3}=45$$

მიუმატეთ \frac{13}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{148}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{37}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{13}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე -4.

$$x=\frac{4-13}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{13}{3} \frac{4}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3,y=-4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 2x-5-ზე.

$$6x-15+2y=-41$$

დაამატეთ 15 ორივე მხარეს.

$$6x+2y=-41+15$$

შეკრიბეთ -41 და 15, რათა მიიღოთ -26.

$$6x+2y=-26$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 9-ზე.

$$x-3y-9y=45$$

დააჯგუფეთ -3y და -9y, რათა მიიღოთ -12y.

$$x-12y=45$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{6\left(-12\right)-2}&-\frac{2}{6\left(-12\right)-2}\\-\frac{1}{6\left(-12\right)-2}&\frac{6}{6\left(-12\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}&\frac{1}{37}\\\frac{1}{74}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}\left(-26\right)+\frac{1}{37}\times 45\\\frac{1}{74}\left(-26\right)-\frac{3}{37}\times 45\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-3,y=-4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 2x-5-ზე.

$$6x-15+2y=-41$$

დაამატეთ 15 ორივე მხარეს.

$$6x+2y=-41+15$$

შეკრიბეთ -41 და 15, რათა მიიღოთ -26.

$$6x+2y=-26$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 9-ზე.

$$x-3y-9y=45$$

დააჯგუფეთ -3y და -9y, რათა მიიღოთ -12y.

$$x-12y=45$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

იმისათვის, რომ 6x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$6x+2y=-26,6x+6\left(-12\right)y=6\times 45$$

გაამარტივეთ.

$$6x+2y=-26,6x-72y=270$$

გამოაკელით 6x-72y=270 6x+2y=-26-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+2y+72y=-26-270$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y+72y=-26-270$$

მიუმატეთ 2y 72y-ს.

$$74y=-26-270$$

მიუმატეთ -26 -270-ს.

$$74y=-296$$

ორივე მხარე გაყავით 74-ზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: x-12y=45. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-12\left(-4\right)=45$$

გაამრავლეთ -12-ზე -4.

$$x+48=45$$

გამოაკელით 48 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3,y=-4$$