გადაწყვიტეთ {l}{3/2x+7/3y=1}{1/4x-7/6y=-3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 / 2 x + 7 / 3 y = 1 } \\ { 1 / 4 x - 7 / 6 y = - 3 / 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y = \frac{15}{14} = 1\frac{1}{14} \approx 1.071428571$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1$$

გამოაკელით \frac{7y}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{7}{3}y+1$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{7}{3}y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე -\frac{7y}{3}+1.

$$x=-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{14y}{9}+\frac{2}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{4}\left(-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3}\right)-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -\frac{14y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{7}{18}y+\frac{1}{6}-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{18} -\frac{7y}{6}-ს.

$$-\frac{14}{9}y+\frac{1}{6}=-\frac{3}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{14}{9}y=-\frac{5}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{14}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{15}{14}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{15}{14}-ით y აქ: x=-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{14}{9}\times \frac{15}{14}+\frac{2}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{14}{9}-ზე \frac{15}{14} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} -\frac{5}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{7}{6}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{28}&-\frac{9}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1-3}{2}\\\frac{3}{28}-\frac{9}{14}\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{15}{14}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

იმისათვის, რომ \frac{3x}{2} და \frac{x}{4} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{4}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{3}{2}-ზე.

$$\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{1}{4},\frac{3}{8}x-\frac{7}{4}y=-\frac{9}{4}$$

გამოაკელით \frac{3}{8}x-\frac{7}{4}y=-\frac{9}{4} \frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{1}{4}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y+\frac{7}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

მიუმატეთ \frac{3x}{8} -\frac{3x}{8}-ს. პირობები \frac{3x}{8} და -\frac{3x}{8} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{7}{12}y+\frac{7}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

მიუმატეთ \frac{7y}{12} \frac{7y}{4}-ს.

$$\frac{7}{3}y=\frac{1+9}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} \frac{9}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$\frac{7}{3}y=\frac{5}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{7}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{15}{14}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{15}{14}-ით y აქ: \frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}\times \frac{15}{14}=-\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{6}-ზე \frac{15}{14} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$