გადაწყვიტეთ {l}{3/2x+6y=19/8}{1/2x-9y=-23/8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 / 2 x + 6 y = \frac { 19 } { 8 } } \\ { 1 / 2 x - 9 y = \frac { - 23 } { 8 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8}$$

გამოაკელით 6y განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{2}x=-6y+\frac{19}{8}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{2}{3}\left(-6y+\frac{19}{8}\right)$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე -6y+\frac{19}{8}.

$$x=-4y+\frac{19}{12}$$

ჩაანაცვლეთ -4y+\frac{19}{12}-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}.

$$\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{19}{12}\right)-9y=-\frac{23}{8}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -4y+\frac{19}{12}.

$$-2y+\frac{19}{24}-9y=-\frac{23}{8}$$

მიუმატეთ -2y -9y-ს.

$$-11y+\frac{19}{24}=-\frac{23}{8}$$

გამოაკელით \frac{19}{24} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-11y=-\frac{11}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{3}-ით y აქ: x=-4y+\frac{19}{12}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-4\times \frac{1}{3}+\frac{19}{12}$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}+\frac{19}{12}$$

მიუმატეთ \frac{19}{12} -\frac{4}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{1}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&-\frac{6}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{1}{33}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\times \frac{19}{8}+\frac{4}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\\\frac{1}{33}\times \frac{19}{8}-\frac{1}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

იმისათვის, რომ \frac{3x}{2} და \frac{x}{2} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{2}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{3}{2}-ზე.

$$\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\times 6y=\frac{1}{2}\times \frac{19}{8},\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\left(-9\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{23}{8}\right)$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16},\frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16}$$

გამოაკელით \frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16} \frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

მიუმატეთ \frac{3x}{4} -\frac{3x}{4}-ს. პირობები \frac{3x}{4} და -\frac{3x}{4} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

მიუმატეთ 3y \frac{27y}{2}-ს.

$$\frac{33}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

მიუმატეთ \frac{19}{16} \frac{69}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$\frac{33}{2}y=\frac{11}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{33}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{3}-ით y აქ: \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{1}{2}x-9\times \frac{1}{3}=-\frac{23}{8}$$

გაამრავლეთ -9-ზე \frac{1}{3}.

$$\frac{1}{2}x-3=-\frac{23}{8}$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}x=\frac{1}{8}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$x=\frac{1}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$