გადაწყვიტეთ {l}{22x+y=50}{27x-y=96}

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$22x+y=50$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$22x=-y+50$$

ორივე მხარე გაყავით 22-ზე.

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{22}-ზე -y+50.

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{22}+\frac{25}{11}-ით x მეორე განტოლებაში, 27x-y=96.

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

გაამრავლეთ 27-ზე -\frac{y}{22}+\frac{25}{11}.

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

მიუმატეთ -\frac{27y}{22} -y-ს.

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

გამოაკელით \frac{675}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{49}{22}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{762}{49}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{762}{49}-ით y აქ: x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{22}-ზე -\frac{762}{49} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

მიუმატეთ \frac{25}{11} \frac{381}{539}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{146}{49}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

იმისათვის, რომ 22x და 27x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 27-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 22-ზე.

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

გაამარტივეთ.

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

გამოაკელით 594x-22y=2112 594x+27y=1350-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

მიუმატეთ 594x -594x-ს. პირობები 594x და -594x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$27y+22y=1350-2112$$

მიუმატეთ 27y 22y-ს.

$$49y=1350-2112$$

მიუმატეთ 1350 -2112-ს.

$$49y=-762$$

ორივე მხარე გაყავით 49-ზე.

$$y=-\frac{762}{49}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{762}{49}-ით y აქ: 27x-y=96. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

გამოაკელით \frac{762}{49} განტოლების ორივე მხარეს.

$$27x=\frac{3942}{49}$$

ორივე მხარე გაყავით 27-ზე.

$$x=\frac{146}{49}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$