გადაწყვიტეთ {l}{2.1x-0.8y=-9}{0.7x+0.9y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.1 x - 0.8 y = - 9 } \\ { 0.7 x + 0.9 y = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-2$$

$$y=6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2.1x-0.8y=-9,0.7x+0.9y=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2.1x-0.8y=-9$$

მიუმატეთ \frac{4y}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2.1x=0.8y-9$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 2.1-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{10}{21}\left(0.8y-9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{10}{21}-ზე \frac{4y}{5}-9.

$$x=\frac{8}{21}y-\frac{30}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8y}{21}-\frac{30}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, 0.7x+0.9y=4.

$$0.7\left(\frac{8}{21}y-\frac{30}{7}\right)+0.9y=4$$

გაამრავლეთ 0.7-ზე \frac{8y}{21}-\frac{30}{7}.

$$\frac{4}{15}y-3+0.9y=4$$

მიუმატეთ \frac{4y}{15} \frac{9y}{10}-ს.

$$\frac{7}{6}y-3=4$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{7}{6}y=7$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{7}{6}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით y აქ: x=\frac{8}{21}y-\frac{30}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{8}{21}\times 6-\frac{30}{7}$$

გაამრავლეთ \frac{8}{21}-ზე 6.

$$x=\frac{16-30}{7}$$

მიუმატეთ -\frac{30}{7} \frac{16}{7}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2.1x-0.8y=-9,0.7x+0.9y=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.9}{2.1\times 0.9-\left(-0.8\times 0.7\right)}&-\frac{-0.8}{2.1\times 0.9-\left(-0.8\times 0.7\right)}\\-\frac{0.7}{2.1\times 0.9-\left(-0.8\times 0.7\right)}&\frac{2.1}{2.1\times 0.9-\left(-0.8\times 0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{49}&\frac{16}{49}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{49}\left(-9\right)+\frac{16}{49}\times 4\\-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{6}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-2,y=6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2.1x-0.8y=-9,0.7x+0.9y=4$$

იმისათვის, რომ \frac{21x}{10} და \frac{7x}{10} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 0.7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2.1-ზე.

$$0.7\times 2.1x+0.7\left(-0.8\right)y=0.7\left(-9\right),2.1\times 0.7x+2.1\times 0.9y=2.1\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$1.47x-0.56y=-6.3,1.47x+1.89y=8.4$$

გამოაკელით 1.47x+1.89y=8.4 1.47x-0.56y=-6.3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$1.47x-1.47x-0.56y-1.89y=-6.3-8.4$$

მიუმატეთ \frac{147x}{100} -\frac{147x}{100}-ს. პირობები \frac{147x}{100} და -\frac{147x}{100} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-0.56y-1.89y=-6.3-8.4$$

მიუმატეთ -\frac{14y}{25} -\frac{189y}{100}-ს.

$$-2.45y=-6.3-8.4$$

მიუმატეთ -6.3 -8.4-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$-2.45y=-14.7$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -2.45-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით y აქ: 0.7x+0.9y=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$0.7x+0.9\times 6=4$$

გაამრავლეთ 0.9-ზე 6.

$$0.7x+5.4=4$$

გამოაკელით 5.4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.7x=-1.4$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.7-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=6$$