გადაწყვიტეთ {l}{2y=8x-10}{3y=4x-15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 8 x - 10 } \\ { 3 y = 4 x - 15 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=0$$

$$y=-5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$2y-8x=-10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$3y-4x=-15$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2y-8x=-10,3y-4x=-15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2y-8x=-10$$

მიუმატეთ 8x განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=8x-10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{1}{2}\left(8x-10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 8x-10.

$$y=4x-5$$

ჩაანაცვლეთ 4x-5-ით y მეორე განტოლებაში, 3y-4x=-15.

$$3\left(4x-5\right)-4x=-15$$

გაამრავლეთ 3-ზე 4x-5.

$$12x-15-4x=-15$$

მიუმატეთ 12x -4x-ს.

$$8x-15=-15$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=0$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით x აქ: y=4x-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-5,x=0$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$2y-8x=-10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$3y-4x=-15$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2y-8x=-10,3y-4x=-15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-8\times 3\right)}&-\frac{-8}{2\left(-4\right)-\left(-8\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-4\right)-\left(-8\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-8\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-10\right)+\frac{1}{2}\left(-15\right)\\-\frac{3}{16}\left(-10\right)+\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-5,x=0$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$2y-8x=-10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$3y-4x=-15$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2y-8x=-10,3y-4x=-15$$

იმისათვის, რომ 2y და 3y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\left(-10\right),2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\left(-15\right)$$

გაამარტივეთ.

$$6y-24x=-30,6y-8x=-30$$

გამოაკელით 6y-8x=-30 6y-24x=-30-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6y-6y-24x+8x=-30+30$$

მიუმატეთ 6y -6y-ს. პირობები 6y და -6y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-24x+8x=-30+30$$

მიუმატეთ -24x 8x-ს.

$$-16x=-30+30$$

მიუმატეთ -30 30-ს.

$$-16x=0$$

ორივე მხარე გაყავით -16-ზე.

$$x=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით x აქ: 3y-4x=-15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$3y=-15$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=-5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-5,x=0$$