გადაწყვიტეთ {l}{2y=3x-4}{2y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 4 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2y-3x=-4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-x=1$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2y-3x=-4$$

მიუმატეთ 3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=3x-4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3x-4.

$$y=\frac{3}{2}x-2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3x}{2}-2-ით y მეორე განტოლებაში, 2y-x=1.

$$2\left(\frac{3}{2}x-2\right)-x=1$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{3x}{2}-2.

$$3x-4-x=1$$

მიუმატეთ 3x -x-ს.

$$2x-4=1$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{2}-ით x აქ: y=\frac{3}{2}x-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{5}{2}-2$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე \frac{5}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=\frac{15}{4}-2$$

მიუმატეთ -2 \frac{15}{4}-ს.

$$y=\frac{7}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2y-3x=-4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-x=1$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2y-3x=-4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-x=1$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

გამოაკელით 2y-x=1 2y-3x=-4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2y-2y-3x+x=-4-1$$

მიუმატეთ 2y -2y-ს. პირობები 2y და -2y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3x+x=-4-1$$

მიუმატეთ -3x x-ს.

$$-2x=-4-1$$

მიუმატეთ -4 -1-ს.

$$-2x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{2}-ით x აქ: 2y-x=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$2y-\frac{5}{2}=1$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=\frac{7}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{7}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$