გადაწყვიტეთ {l}{2y+x=-15}{x=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y + x = - 15 } \\ { x = 3 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-9$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-3y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2y+x=-15,-3y+x=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2y+x=-15$$

გამოაკელით x განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=-x-15$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{1}{2}\left(-x-15\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -x-15.

$$y=-\frac{1}{2}x-\frac{15}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-x-15}{2}-ით y მეორე განტოლებაში, -3y+x=0.

$$-3\left(-\frac{1}{2}x-\frac{15}{2}\right)+x=0$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{-x-15}{2}.

$$\frac{3}{2}x+\frac{45}{2}+x=0$$

მიუმატეთ \frac{3x}{2} x-ს.

$$\frac{5}{2}x+\frac{45}{2}=0$$

გამოაკელით \frac{45}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{2}x=-\frac{45}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-9$$

ჩაანაცვლეთ -9-ით x აქ: y=-\frac{1}{2}x-\frac{15}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{15}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -9.

$$y=\frac{9-15}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{15}{2} \frac{9}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-3,x=-9$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-3y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2y+x=-15,-3y+x=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\-3&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-15\right)\\\frac{3}{5}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-9\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-3,x=-9$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-3y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2y+x=-15,-3y+x=0$$

გამოაკელით -3y+x=0 2y+x=-15-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2y+3y+x-x=-15$$

მიუმატეთ x -x-ს. პირობები x და -x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y+3y=-15$$

მიუმატეთ 2y 3y-ს.

$$5y=-15$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: -3y+x=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3\left(-3\right)+x=0$$

გაამრავლეთ -3-ზე -3.

$$9+x=0$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-9$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-3,x=-9$$