გადაწყვიტეთ {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x_1, x_2-ისთვის

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x_{1}-ისთვის, x_{1}-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

გამოაკელით 3x_{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3x_{2}+7}{2}-ით x_{1} მეორე განტოლებაში, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

მიუმატეთ -6x_{2} -4x_{2}-ს.

$$-10x_{2}+14=-6$$

გამოაკელით 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-10x_{2}=-20$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$x_{2}=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x_{2} აქ: x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x_{1}.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

მიუმატეთ \frac{7}{2} -3-ს.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x_{1} და x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

იმისათვის, რომ 2x_{1} და 4x_{1} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

გაამარტივეთ.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

გამოაკელით 8x_{1}-8x_{2}=-12 8x_{1}+12x_{2}=28-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

მიუმატეთ 8x_{1} -8x_{1}-ს. პირობები 8x_{1} და -8x_{1} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

მიუმატეთ 12x_{2} 8x_{2}-ს.

$$20x_{2}=28+12$$

მიუმატეთ 28 12-ს.

$$20x_{2}=40$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$x_{2}=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x_{2} აქ: 4x_{1}-4x_{2}=-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x_{1}.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x_{1}=2$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$