გადაწყვიტეთ {l}{2x-y=5}{3x+4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 3 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-y=5$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5+y}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+4y=2.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+4y=2$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{5+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+4y=2$$

მიუმატეთ \frac{3y}{2} 4y-ს.

$$\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=2$$

გამოაკელით \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -1.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} -\frac{1}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 5+\frac{1}{11}\times 2\\-\frac{3}{11}\times 5+\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\times 4y=2\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$6x-3y=15,6x+8y=4$$

გამოაკელით 6x+8y=4 6x-3y=15-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x-3y-8y=15-4$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-8y=15-4$$

მიუმატეთ -3y -8y-ს.

$$-11y=15-4$$

მიუმატეთ 15 -4-ს.

$$-11y=11$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: 3x+4y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+4\left(-1\right)=2$$

გაამრავლეთ 4-ზე -1.

$$3x-4=2$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-1$$