გადაწყვიტეთ {l}{2x-5y=10}{4x+y=120}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{305}{11} = 27\frac{8}{11} \approx 27.727272727$$

$$y = \frac{100}{11} = 9\frac{1}{11} \approx 9.090909091$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-5y=10$$

მიუმატეთ 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=5y+10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 10+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

ჩაანაცვლეთ 5+\frac{5y}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+y=120.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=120$$

გაამრავლეთ 4-ზე 5+\frac{5y}{2}.

$$10y+20+y=120$$

მიუმატეთ 10y y-ს.

$$11y+20=120$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$11y=100$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$y=\frac{100}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{100}{11}-ით y აქ: x=\frac{5}{2}y+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{100}{11}+5$$

გაამრავლეთ \frac{5}{2}-ზე \frac{100}{11} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{250}{11}+5$$

მიუმატეთ 5 \frac{250}{11}-ს.

$$x=\frac{305}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{305}{11}\\\frac{100}{11}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 120$$

გაამარტივეთ.

$$8x-20y=40,8x+2y=240$$

გამოაკელით 8x+2y=240 8x-20y=40-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x-20y-2y=40-240$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-20y-2y=40-240$$

მიუმატეთ -20y -2y-ს.

$$-22y=40-240$$

მიუმატეთ 40 -240-ს.

$$-22y=-200$$

ორივე მხარე გაყავით -22-ზე.

$$y=\frac{100}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{100}{11}-ით y აქ: 4x+y=120. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+\frac{100}{11}=120$$

გამოაკელით \frac{100}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{1220}{11}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{305}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$