გადაწყვიტეთ {l}{2x-4y=-2}{3x+2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = - 2 } \\ { 3 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-4y=-2$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=4y-2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y-2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 4y-2.

$$x=2y-1$$

ჩაანაცვლეთ 2y-1-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+2y=3.

$$3\left(2y-1\right)+2y=3$$

გაამრავლეთ 3-ზე 2y-1.

$$6y-3+2y=3$$

მიუმატეთ 6y 2y-ს.

$$8y-3=3$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8y=6$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$y=\frac{3}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{4}-ით y აქ: x=2y-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=2\times \frac{3}{4}-1$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{3}{4}.

$$x=\frac{3}{2}-1$$

მიუმატეთ -1 \frac{3}{2}-ს.

$$x=\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{16}\left(-2\right)+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3\left(-4\right)y=3\left(-2\right),2\times 3x+2\times 2y=2\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$6x-12y=-6,6x+4y=6$$

გამოაკელით 6x+4y=6 6x-12y=-6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x-12y-4y=-6-6$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-12y-4y=-6-6$$

მიუმატეთ -12y -4y-ს.

$$-16y=-6-6$$

მიუმატეთ -6 -6-ს.

$$-16y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -16-ზე.

$$y=\frac{3}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{4}-ით y აქ: 3x+2y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+2\times \frac{3}{4}=3$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{3}{4}.

$$3x+\frac{3}{2}=3$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{3}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$