გადაწყვიტეთ {l}{2x-3y=-1}{2x+3y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 1 } \\ { 2 x + 3 y = 16 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} = 3.75$$

$$y = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} \approx 2.833333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y=-1$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y-1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y-1}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+3y=16.

$$2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3y=16$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{3y-1}{2}.

$$3y-1+3y=16$$

მიუმატეთ 3y 3y-ს.

$$6y-1=16$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6y=17$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=\frac{17}{6}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{17}{6}-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{17}{6}-\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე \frac{17}{6} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{17}{4}-\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{2} \frac{17}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{15}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 16\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\times 16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{4}\\\frac{17}{6}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

გამოაკელით 2x+3y=16 2x-3y=-1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x-3y-3y=-1-16$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-3y=-1-16$$

მიუმატეთ -3y -3y-ს.

$$-6y=-1-16$$

მიუმატეთ -1 -16-ს.

$$-6y=-17$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$y=\frac{17}{6}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{17}{6}-ით y აქ: 2x+3y=16. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+3\times \frac{17}{6}=16$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{17}{6}.

$$2x+\frac{17}{2}=16$$

გამოაკელით \frac{17}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{15}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{15}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$