გადაწყვიტეთ {l}{2x-2y=1}{4y-1/2=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 y = 1 } \\ { \frac { 4 y - 1 } { 2 } = x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაყავით 4y-1-ის წევრი 2-ზე 2y-\frac{1}{2}-ის მისაღებად.

$$2y-\frac{1}{2}=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-\frac{1}{2}-x=0$$

დაამატეთ \frac{1}{2} ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$2y-x=\frac{1}{2}$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-2y=1,-x+2y=\frac{1}{2}$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-2y=1$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=2y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 2y+1.

$$x=y+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ y+\frac{1}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, -x+2y=\frac{1}{2}.

$$-\left(y+\frac{1}{2}\right)+2y=\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ -1-ზე y+\frac{1}{2}.

$$-y-\frac{1}{2}+2y=\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ -y 2y-ს.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=y+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=1+\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} 1-ს.

$$x=\frac{3}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაყავით 4y-1-ის წევრი 2-ზე 2y-\frac{1}{2}-ის მისაღებად.

$$2y-\frac{1}{2}=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-\frac{1}{2}-x=0$$

დაამატეთ \frac{1}{2} ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$2y-x=\frac{1}{2}$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-2y=1,-x+2y=\frac{1}{2}$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1+\frac{1}{2}\\\frac{1+1}{2}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაყავით 4y-1-ის წევრი 2-ზე 2y-\frac{1}{2}-ის მისაღებად.

$$2y-\frac{1}{2}=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-\frac{1}{2}-x=0$$

დაამატეთ \frac{1}{2} ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$2y-x=\frac{1}{2}$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-2y=1,-x+2y=\frac{1}{2}$$

იმისათვის, რომ 2x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$-2x-\left(-2y\right)=-1,2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\times \frac{1}{2}$$

გაამარტივეთ.

$$-2x+2y=-1,-2x+4y=1$$

გამოაკელით -2x+4y=1 -2x+2y=-1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+2x+2y-4y=-1-1$$

მიუმატეთ -2x 2x-ს. პირობები -2x და 2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y-4y=-1-1$$

მიუმატეთ 2y -4y-ს.

$$-2y=-1-1$$

მიუმატეთ -1 -1-ს.

$$-2y=-2$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: -x+2y=\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+2=\frac{1}{2}$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-\frac{3}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=\frac{3}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$