გადაწყვიტეთ {l}{2x-19y=-10}{19x-18y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 19 y = - 10 } \\ { 19 x - 18 y = 13 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{427}{325} = 1\frac{102}{325} \approx 1.313846154$$

$$y=\frac{216}{325}\approx 0.664615385$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-19y=-10$$

მიუმატეთ 19y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=19y-10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(19y-10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 19y-10.

$$x=\frac{19}{2}y-5$$

ჩაანაცვლეთ \frac{19y}{2}-5-ით x მეორე განტოლებაში, 19x-18y=13.

$$19\left(\frac{19}{2}y-5\right)-18y=13$$

გაამრავლეთ 19-ზე \frac{19y}{2}-5.

$$\frac{361}{2}y-95-18y=13$$

მიუმატეთ \frac{361y}{2} -18y-ს.

$$\frac{325}{2}y-95=13$$

მიუმატეთ 95 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{325}{2}y=108$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{325}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{216}{325}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{216}{325}-ით y აქ: x=\frac{19}{2}y-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{19}{2}\times \frac{216}{325}-5$$

გაამრავლეთ \frac{19}{2}-ზე \frac{216}{325} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{2052}{325}-5$$

მიუმატეთ -5 \frac{2052}{325}-ს.

$$x=\frac{427}{325}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}&-\frac{-19}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}\\-\frac{19}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}&\frac{2}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{325}&\frac{19}{325}\\-\frac{19}{325}&\frac{2}{325}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{325}\left(-10\right)+\frac{19}{325}\times 13\\-\frac{19}{325}\left(-10\right)+\frac{2}{325}\times 13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{427}{325}\\\frac{216}{325}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

იმისათვის, რომ 2x და 19x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 19-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$19\times 2x+19\left(-19\right)y=19\left(-10\right),2\times 19x+2\left(-18\right)y=2\times 13$$

გაამარტივეთ.

$$38x-361y=-190,38x-36y=26$$

გამოაკელით 38x-36y=26 38x-361y=-190-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$38x-38x-361y+36y=-190-26$$

მიუმატეთ 38x -38x-ს. პირობები 38x და -38x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-361y+36y=-190-26$$

მიუმატეთ -361y 36y-ს.

$$-325y=-190-26$$

მიუმატეთ -190 -26-ს.

$$-325y=-216$$

ორივე მხარე გაყავით -325-ზე.

$$y=\frac{216}{325}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{216}{325}-ით y აქ: 19x-18y=13. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$19x-18\times \frac{216}{325}=13$$

გაამრავლეთ -18-ზე \frac{216}{325}.

$$19x-\frac{3888}{325}=13$$

მიუმატეთ \frac{3888}{325} განტოლების ორივე მხარეს.

$$19x=\frac{8113}{325}$$

ორივე მხარე გაყავით 19-ზე.

$$x=\frac{427}{325}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$