გადაწყვიტეთ {l}{2x+y=8}{2x+3y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 22 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=7$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+y=8$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-y+8$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{2}+4-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+3y=22.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+3y=22$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{y}{2}+4.

$$-y+8+3y=22$$

მიუმატეთ -y 3y-ს.

$$2y+8=22$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=14$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+4$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 7.

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

მიუმატეთ 4 -\frac{7}{2}-ს.

$$x=\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 22\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\7\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

გამოაკელით 2x+3y=22 2x+y=8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+y-3y=8-22$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y-3y=8-22$$

მიუმატეთ y -3y-ს.

$$-2y=8-22$$

მიუმატეთ 8 -22-ს.

$$-2y=-14$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: 2x+3y=22. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+3\times 7=22$$

გაამრავლეთ 3-ზე 7.

$$2x+21=22$$

გამოაკელით 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$