გადაწყვიტეთ {l}{2x+y=5}{6x+6y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { 6 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+y=5$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+5}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 6x+6y=24.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{-y+5}{2}.

$$-3y+15+6y=24$$

მიუმატეთ -3y 6y-ს.

$$3y+15=24$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{5}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 3.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} -\frac{3}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-6}&-\frac{1}{2\times 6-6}\\-\frac{6}{2\times 6-6}&\frac{2}{2\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-1&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-\frac{1}{6}\times 24\\-5+\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

იმისათვის, რომ 2x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$6\times 2x+6y=6\times 5,2\times 6x+2\times 6y=2\times 24$$

გაამარტივეთ.

$$12x+6y=30,12x+12y=48$$

გამოაკელით 12x+12y=48 12x+6y=30-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x+6y-12y=30-48$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y-12y=30-48$$

მიუმატეთ 6y -12y-ს.

$$-6y=30-48$$

მიუმატეთ 30 -48-ს.

$$-6y=-18$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: 6x+6y=24. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x+6\times 3=24$$

გაამრავლეთ 6-ზე 3.

$$6x+18=24$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=3$$