გადაწყვიტეთ {l}{2x+y=11}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+y=11$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-y+11$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -y+11.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+11}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-y=9.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)-y=9$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-y+11}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{33}{2}-y=9$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{2} -y-ს.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}=9$$

გამოაკელით \frac{33}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{15}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{11}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 3.

$$x=\frac{-3+11}{2}$$

მიუმატეთ \frac{11}{2} -\frac{3}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 11+\frac{1}{5}\times 9\\\frac{3}{5}\times 11-\frac{2}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3y=3\times 11,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 9$$

გაამარტივეთ.

$$6x+3y=33,6x-2y=18$$

გამოაკელით 6x-2y=18 6x+3y=33-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+3y+2y=33-18$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y+2y=33-18$$

მიუმატეთ 3y 2y-ს.

$$5y=33-18$$

მიუმატეთ 33 -18-ს.

$$5y=15$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: 3x-y=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-3=9$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=3$$