გადაწყვიტეთ {l}{2x+y=-16}{-4x+10y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 16 } \\ { - 4 x + 10 y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-7$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+y=-16$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-y-16$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-16\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -y-16.

$$x=-\frac{1}{2}y-8$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{2}-8-ით x მეორე განტოლებაში, -4x+10y=8.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y-8\right)+10y=8$$

გაამრავლეთ -4-ზე -\frac{y}{2}-8.

$$2y+32+10y=8$$

მიუმატეთ 2y 10y-ს.

$$12y+32=8$$

გამოაკელით 32 განტოლების ორივე მხარეს.

$$12y=-24$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y-8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)-8$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -2.

$$x=1-8$$

მიუმატეთ -8 1-ს.

$$x=-7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-7,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{2\times 10-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 10-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 10-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 10-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{24}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\left(-16\right)-\frac{1}{24}\times 8\\\frac{1}{6}\left(-16\right)+\frac{1}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-7,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

იმისათვის, რომ 2x და -4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$-4\times 2x-4y=-4\left(-16\right),2\left(-4\right)x+2\times 10y=2\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$-8x-4y=64,-8x+20y=16$$

გამოაკელით -8x+20y=16 -8x-4y=64-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-8x+8x-4y-20y=64-16$$

მიუმატეთ -8x 8x-ს. პირობები -8x და 8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4y-20y=64-16$$

მიუმატეთ -4y -20y-ს.

$$-24y=64-16$$

მიუმატეთ 64 -16-ს.

$$-24y=48$$

ორივე მხარე გაყავით -24-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: -4x+10y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-4x+10\left(-2\right)=8$$

გაამრავლეთ 10-ზე -2.

$$-4x-20=8$$

მიუმატეთ 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x=28$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=-7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-7,y=-2$$