გადაწყვიტეთ {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+9y=19$$

გამოაკელით 9y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-9y+19$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -9y+19.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-9y+19}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+my=53.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-9y+19}{2}.

$$-18y+38+my=53$$

მიუმატეთ -18y my-ს.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

გამოაკელით 38 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(m-18\right)y=15$$

ორივე მხარე გაყავით -18+m-ზე.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{15}{-18+m}-ით y აქ: x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{9}{2}-ზე \frac{15}{-18+m}.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

მიუმატეთ \frac{19}{2} -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}-ს.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

გაამარტივეთ.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

გამოაკელით 8x+2my=106 8x+36y=76-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

მიუმატეთ 36y -2my-ს.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

მიუმატეთ 76 -106-ს.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

ორივე მხარე გაყავით 36-2m-ზე.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{15}{18-m}-ით y აქ: 4x+my=53. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

გაამრავლეთ m-ზე -\frac{15}{18-m}.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

მიუმატეთ \frac{15m}{18-m} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$