გადაწყვიტეთ {l}{2x+8y=64}{7x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 64 } \\ { 7 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=0$$

$$y=8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+8y=64$$

გამოაკელით 8y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-8y+64$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+64\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -8y+64.

$$x=-4y+32$$

ჩაანაცვლეთ -4y+32-ით x მეორე განტოლებაში, 7x+y=8.

$$7\left(-4y+32\right)+y=8$$

გაამრავლეთ 7-ზე -4y+32.

$$-28y+224+y=8$$

მიუმატეთ -28y y-ს.

$$-27y+224=8$$

გამოაკელით 224 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-27y=-216$$

ორივე მხარე გაყავით -27-ზე.

$$y=8$$

ჩაანაცვლეთ 8-ით y აქ: x=-4y+32. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-4\times 8+32$$

გაამრავლეთ -4-ზე 8.

$$x=-32+32$$

მიუმატეთ 32 -32-ს.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=8$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-8\times 7}&-\frac{8}{2-8\times 7}\\-\frac{7}{2-8\times 7}&\frac{2}{2-8\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}&\frac{4}{27}\\\frac{7}{54}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}\times 64+\frac{4}{27}\times 8\\\frac{7}{54}\times 64-\frac{1}{27}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=0,y=8$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

იმისათვის, რომ 2x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$7\times 2x+7\times 8y=7\times 64,2\times 7x+2y=2\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$14x+56y=448,14x+2y=16$$

გამოაკელით 14x+2y=16 14x+56y=448-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$14x-14x+56y-2y=448-16$$

მიუმატეთ 14x -14x-ს. პირობები 14x და -14x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$56y-2y=448-16$$

მიუმატეთ 56y -2y-ს.

$$54y=448-16$$

მიუმატეთ 448 -16-ს.

$$54y=432$$

ორივე მხარე გაყავით 54-ზე.

$$y=8$$

ჩაანაცვლეთ 8-ით y აქ: 7x+y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x+8=8$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=0$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=8$$