გადაწყვიტეთ {l}{2x+7y=5}{3x+6y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 5 } \\ { 3 x + 6 y = 20 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{110}{9} = 12\frac{2}{9} \approx 12.222222222$$

$$y = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2.777777778$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+7y=5$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-7y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -7y+5.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-7y+5}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+6y=20.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=20$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-7y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{15}{2}+6y=20$$

მიუმატეთ -\frac{21y}{2} 6y-ს.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}=20$$

გამოაკელით \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{25}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{9}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{25}{9}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{25}{9}-ით y აქ: x=-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{25}{9}\right)+\frac{5}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{2}-ზე -\frac{25}{9} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{175}{18}+\frac{5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} \frac{175}{18}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{110}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-7\times 3}&-\frac{7}{2\times 6-7\times 3}\\-\frac{3}{2\times 6-7\times 3}&\frac{2}{2\times 6-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{7}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 5+\frac{7}{9}\times 20\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{9}\\-\frac{25}{9}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 5,2\times 3x+2\times 6y=2\times 20$$

გაამარტივეთ.

$$6x+21y=15,6x+12y=40$$

გამოაკელით 6x+12y=40 6x+21y=15-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+21y-12y=15-40$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$21y-12y=15-40$$

მიუმატეთ 21y -12y-ს.

$$9y=15-40$$

მიუმატეთ 15 -40-ს.

$$9y=-25$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$y=-\frac{25}{9}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{25}{9}-ით y აქ: 3x+6y=20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+6\left(-\frac{25}{9}\right)=20$$

გაამრავლეთ 6-ზე -\frac{25}{9}.

$$3x-\frac{50}{3}=20$$

მიუმატეთ \frac{50}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{110}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{110}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$