გადაწყვიტეთ {l}{2x+7y=1}{2x-4y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+7y=1,2x-4y=12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+7y=1$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-7y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -7y+1.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-7y+1}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-4y=12.

$$2\left(-\frac{7}{2}y+\frac{1}{2}\right)-4y=12$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-7y+1}{2}.

$$-7y+1-4y=12$$

მიუმატეთ -7y -4y-ს.

$$-11y+1=12$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-11y=11$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=-\frac{7}{2}y+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{2}-ზე -1.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} \frac{7}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+7y=1,2x-4y=12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&7\\2&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-7\times 2}&-\frac{7}{2\left(-4\right)-7\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-4\right)-7\times 2}&\frac{2}{2\left(-4\right)-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{7}{22}\\\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}+\frac{7}{22}\times 12\\\frac{1}{11}-\frac{1}{11}\times 12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+7y=1,2x-4y=12$$

გამოაკელით 2x-4y=12 2x+7y=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+7y+4y=1-12$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$7y+4y=1-12$$

მიუმატეთ 7y 4y-ს.

$$11y=1-12$$

მიუმატეთ 1 -12-ს.

$$11y=-11$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: 2x-4y=12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-4\left(-1\right)=12$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$2x+4=12$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=8$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=-1$$